Eratóstenes e o mistério dos estádios – Argumentos de Eratóstenes – I

Eratóstenes usa essas cinco principais suposições como hipóteses para sua famosa aproximação geométrica da circunferência da Terra. Sua aproximação não seria superada nos próximos séculos. O método elaborado por Eratóstenes é a base do complexo “método astrogeodético” que é usado para medir a Terra hoje. Seu elegante argumento geométrico, ilustrado abaixo, é sólido e simples.

Afirmação: A circunferência da Terra é de aproximadamente 250.000 estádios.

Prova:

Dado que

Alexandria e Siena estão no mesmo meridiano,
os raios de luz do Sol que atingem a Terra são paralelos,
a distância entre Alexandria e Siena é de 5.000 estádios,
o ângulo formado pela sombra e pela haste em Alexandria no solstício de verão é igual a 1/50 de um círculo e
a Terra é esférica,

por construção, a haste em Alexandria é perpendicular ao solo; portanto, no plano do meridiano, é ortogonal ao círculo transversal da Terra.

Por definição de ortogonal, a haste em Alexandria é perpendicular a uma linha m que é tangente à Terra em sua base.

Da mesma forma, a haste em Siena é perpendicular a uma linha n tangente à Terra em sua base.

Por Euclides III-19, se uma linha reta toca um círculo, e do ponto de contato uma linha reta é desenhada perpendicularmente à tangente, o centro do círculo estará na linha reta assim desenhada.

Portanto, como as hastes são perpendiculares às tangentes m e n, se são estendidas em direção à Terra, suas linhas se cruzam no centro da Terra.

Por hipótese, os raios de luz que atingem a Terra são paralelos.

Como o bastão em Siena não lança sombra, nenhum ângulo é formado pela interseção dos raios de luz e da haste, assim a sua linha é paralela aos raios de luz.

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