A concepção de que alguma luz seja fria é um total disparate pois, como é bem sabido, qualquer radiação eletromagnética, não importando em qual fonte seja originada, transporta energia. Entretanto os efeitos térmicos da radiação sobre a matéria podem ser percebidos facilmente quando a luz absorvida pela matéria transferir-lhe uma quantidade de energia suficientemente grande, produzindo elevações na temperatura passíveis de serem medidas. É o caso por exemplo da absorção da luz solar em corpos a ela expostos.

A luz proveniente da Lua é luz solar parcialmente refletida de forma difusa. O albedo (este é o termo técnico para a radiação solar refletida por qualquer corpo celeste) médio da superfície Lua não ultrapassa 13% da luz solar que sobre ela incide.
A iluminação de uma Lua cheia elevada no céu limpo é aproximadamente 0,3 lux enquanto que o Sol nas mesmas condições produz uma iluminação de 130.000 lux (vide mais sobre tema em aqui). Portanto a iluminação produzida pela Lua na fase cheia representa em ordem de grandeza cerca de um milionésimo da iluminação do Sol. Daí é fácil imaginar que os efeitos térmicos sobre corpos banhados pelo luar são desprezíveis frente aos mesmos efeitos sob a radiação solar direta.
Mesmo levando em conta essa proporção, uma maneira de se medir a temperatura (energia térmica) da Lua é através de um telescópio refletor.
A luz da Lua deve ser completamente isolada de todas as fontes de calor do solo (pessoas, plantas, grama, árvores, etc.) para obter uma verdadeira medida observacional, dessa forma:



Conclusão: A temperatura é maior ao apontar o telescópio refletor para a Lua, portanto sua luz tem um efeito de aquecimento ao incidir sobre a superfície reflexiva do telescópio.
Esta é a forma correta de fazer a medida, qualquer medida efetuada indiretamente sobre objetos na sombra ou fora dela, sofre interferências do efeito de irradiação de calor do objeto, principalmente se utilizar instrumentos inadequados e imprecisos como termômetros de uso doméstico.
Os objetos do entorno emitem radiação infravermelha (IR), e isso interfere e impossibilita a correta medição da luz da Lua.
Ao efetuar medidas térmicas diretas da Lua com um telescópio refletor, isso torna a medição muito mais rigorosa e precisa do que qualquer medição feita por um termômetro que esteja apenas medindo a superfície de objetos influenciados pela temperatura ambiente, sendo afetada por um número maior de variáveis, contaminando o experimento.
Outra forma de medir a temperatura da Luz emitida pela Lua é através de uma câmera de imagem térmica, como podemos verificar no vídeo abaixo:
No vídeo abaixo é demonstrado que a Lua, durante um eclipse, sofre uma alteração de temperatura por conta da incidência da sombra da Terra:
A mensuração indireta da luz da Lua incidindo sobre objetos na superfície da Terra não permite uma correta verificação pelos seguintes motivos:
Divergência do sensor
Na medição da temperatura efetuada com termômetro a laser, a função do feixe de LASER é apenas de servir como mira, não é o LASER que mede a temperatura.
O aparato de medição está contido numa lente que focaliza a radiação infravermelha do seu alvo em um sensor digital. Isto significa que, em vez de medir a temperatura em um ponto, na verdade está tomando a temperatura de um círculo centrado naquele ponto. O tamanho do círculo depende de quão longe se está do alvo, de acordo com a ótica interna do termômetro.

Quanto mais distante do alvo, maior é a área de medição.
https://www.fluke.com/en-us/learn/blog/temperature/how-to-get-great-results-with-an-infrared-thermometer
O luar não faz com que um objeto se torne mais frio. É o objeto na sombra que se mantém mais quente.
Quando um objeto (ou superfície) é coberto ou sombreado com uma mão, teto, árvore ou nuvem, ele irradia menos calor para o ar noturno e se torna ligeiramente mais quente que um objeto (ou superfície) exposto ao ar do céu noturno aberto.

Os resultados dos testes no vídeos acima demonstram que não há diferenças substanciais entre as duas medidas.
Os exemplos acima são meramente ilustrativos, não podem ser considerados como experimentos científicos, servem somente para demonstrar que existem testes com resultados diferentes daqueles que detectam algum alteração de temperatura na luz incidente da Lua.
Como abordado no inicio, além do telescópio refrator, existem instrumentos científicos para este fim como :Pireliômetro, Pyranometro, Lunar spectro-radiometro
Sendo a Luz da Lua a reflexão da luz Solar em sua superfície, existem painéis solares que geram energia coletando-a:
Artigos científicos sobre o tema
Medição precisa da irradiância espectral lunar em comprimentos de onda visíveis
Determinação da profundidade óptica atmosférica através do brilho da superfície lunar
RObotic Lunar Observatory (ROLO)
https://www.moon-cal.org/main_overview.php
https://www.moon-cal.org/modeling/irradiance.php
Irradiância e luminosidade espectral lunar (LUSI)
Fontes:
Resposta do CREF – UFRGS (trecho inicial do texto extraído desta publicação)
http://www.physicscentral.com/buzz/blog/index.cfm?postid=1590436706491009951